Il n'y a rien dans ma réponse qui concerne ADE4. J'espère être pardonné de
cette longue digression.
Pour résoudre le problème posé par Sylvain Piry, on peut tenter de
s'inspirer des méthodes des géomètres et des topographes. Toutefois, le
principal enseignement que l'on y trouvera concerne le plan
d'échantillonnage lui-mêrme plus que la méthode de résolution car tout
l'art de cette profession consiste justement à définir rigoureusement un
protocole de mesure sur le terrain qui permette de résoudre le problème par
étapes successives sans avoir à mélanger toutes les données dans une même
marmite.
Ainsi, en dehors des quelques schémas codifiés (cheminement, triangulation
géodésique, polygonale), il n'y a qu'un seul recours, l'ajustement des
coordonnées des points en minimisant une somme de carrés S :
S = Somme_sur_i [ (Mesure-Estimation)/Précision ]
i : nombre de mesures effectuées
Mesure : une valeur U (angle ou distance) mesurée sur le terrain
Estimation : valeur U recalculée à partir des coordonnées estimées des points
Précision : précision nominale de la mesure de U. (en général 2 fois
l'écart type, mais peut aussi contenir un terme proportionnel à U. Tel
distancemètre laser aura par exemple une précision de 6mm + 5ppm). Diviser
par Précision permet de panacher dans un même moindre carré angles et
distances et d'une manière générale, des mesures de qualité hétérogène.
On forme alors un modèle qui est :
- non linéaire
- très fortement paramétré : par exemple 100-3=97 paramètres s'il y a 50
points mesurés, tous inconnus
- avec peu de contraintes relativement au nombre de paramètres. Par
exemple, toujours sur 50 points, si on mesure pour chaque point 4 distances
en moyenne, alors il y a grosso modo 100 contraintes (chaque distance
concerne 2 points), cad autant que de paramètres.
Un tel modèle peut être décrit sur un tableur comme Excel et résolu avec le
"solveur" intégré. C'est long mais ça marche ... avec quelques réserves de
taille :
Le solveur d'Excel, comme les autres méthodes de résolution de modèles non
linéaires, n'aime pas ce genre de problème. Toutes proportions gardées,
l'ordinateur a autant de mal à retrouver ses petits que Sylvain Piry avec
son compas ! La meilleure manière de "sentir" la difficulté est de faire
une analogie physique : si chaque distance mesurée L avec une précision a
est une barre de longueur L munie d'un ressort d'élasticitré a,
l'assemblage de toutes les barres a une certaine souplesse, surtout au
centre, loin des points d'ancrage : là, au centre, il suffit de peu
d'effort (=d'une faible modification de l'énergie potentielle de l'ensemble
des ressorts) pour faire bouger un point isolé dans un rayon relativement
grand, beaucoup plus grand que le déplacement obtenu avec le même effort
sur une barre isolée, ceci est vrai dans tous les cas, et est exacerbé dans
le cas décrit par Sylvain Piry, pour lequel il n'y a pas de contrainte sur
les angles.
On comprend avec cette analogie que le moindre carré sur l'ensemble du
domaine (=l'énergie potentielle de l'ensemble des ressorts) est un mauvais
garant de la position d'un point isolé si ceui-ci a beaucoup de "degrés de
libertés" cad est relié à un point fixe par une longue chaine
d'articulations qui peuvent jouer dans tous les sens.
Pour limiter ces cas de figure, et pour diminuer le nombre d'itérations
nécessaire à la convergence du modèle, les règles à suivre sont les
suivantes :
1) Chercher à mesurer des angles (avec un théodolite), même pour quelques
points seulement.
2) hierarchiser les mesures entre :
- point d'ancrage, sur lesquels le reste de la construction repose, et qui
doivent former entre eux un canevas "rigide" (pas d'angle supérieur à 90°,
toutes les distances du même ordre de grandeur et précisément mesurées).
- simple point de mesure, qui peut supporter une erreur plus importante car
elle ne sera pas propagée.
3) Diviser le problème :
- commencer par calculer 4 points autour de la zone en mesurant les 4 côtés
et les 2 diagonales (et les 10 angles ?)
- puis placer un ou plusieurs points au centre grace à 4 mesures de
distance, (aux 4 points déja "connus").
- continuer à poser autant de points d'ancrage intermédiaires que
nécessaire, mais en limitant le nombre d'étapes, les points de chaque étape
étant calculés un à uns à partir de ceux des étapes précédentes.
Tous les points étant ainsi calculés hiérarchiquement, il n'est pas
interdit de mélanger toutes les mesures dans la marmite : On a +/- la
garantie de ne pas être trop loin du minimum au sens des moindres carrés.
En tous cas, on sera plus près de la solution que si celle-ci a été
construite de proche en proche. Le piège des faux minimums est ainsi
esquivé. Mais ce n'est pas utile. Le mieux est de s'en tenir à la solution
obtenue par la méthode hiérarchique avec, dès l'acquisition des données sur
le terrain, le souci d'avoir la plus grande précision sur les mesures de
plus haut niveau.
Bien sincèrement,
Olivier PLANCHON.
At 19:03 23/04/98 +0200, you wrote:
>ADEistes, bonjour !
>
>Afin de cartographier des plantes sur une parcelle, nous avons mesuré les
>distances entre une plante et trois ou plus de ses voisines. Nous
>reconstruisons ensuite la carte manuellement à l'aide d'un compas et pas
>mal d'huile de coude. En effet, l'accumulation des erreurs au cours des
>mesures devient manifeste lorsqu'on "boucle la boucle", et qu'on tente de
>rattacher les dernières plantes aux premières. Et c'est là que les
>corrections sont faites "au pif".
>
>La question est donc : Y-a-t-il moyen, à l'aide d'ADE, de construire ce
>type de graphe "flou" à partir de mesures de distances de bipoints, ou
>d'une demi-matrice de distance avec de nombreuses données manquantes ?
>
>Sinon, connaissez-vous des logiciels plus particulièrement spécialisés en
>ce sens. Un premier regard sur CabriGraph ne ma pas permi de conclure à la
>possibilité de l'utiliser dans ce contexte.
>
>Merci d'avance, et félicitations pour votre travail !
>
>
--------------------------------------------
Olivier PLANCHON, Laboratoire d'Hydrologie,
ORSTOM BP1386 Dakar, Senegal
tel:(221)832-34-80 fax:(221)832-43-07 E-mail:Olivier.Planchon@orstom.sn
This archive was generated by hypermail 2b30 : Sat Feb 10 2001 - 10:21:56 MET